С развитием индустриальной промышленности и с усилением процессов урбанизации нехватка водных ресурсов чувствуется все сильнее. В таких условиях требуется повысить эффективность широкомасштабного водоиспользования в сельском хозяйстве, т.е. добиться максимальной урожайности при ограниченных водных ресурсах.

Как отмечается в работе [1], всевозможные потери воды являются составной частью любой ирригационной системы. По этой причине часто используется такой термин как доступное количество воды. Этот показатель удобен для менеджеров сельского хозяйства тем, что измерение этого показателя не вызывает особых трудностей.

В начальной стадии ирригации вода накапливается в корневой зоне и эффективность орошения высокая. При этом до уровня 50% доступного количества воды происходит линейный рост урожая. При дальнейшем увеличении количества воды возникают всевозможные потери воды из-за негомогенности почвы и несовершенства ирригационной системы. После достижения уровня водной потребности растительности дальнейшая подача воды может привести к уменьшению урожая из-за заболачивания местности, отсутствия воздуха в корневой зоне, уменьшения количества питательных веществ.

Согласно [2],  функциональная зависимость «урожай-доступная вода» может быть аппроксимирована выражением

                                              (1)

где: W-количество доступной воды; a,b,c-регрессионные коэффициенты, зависящие от типа растительности.

Согласно [3], точка максимальной урожайности может быть вычислена методом анализа производных. Имеем:

dydW=b+2cW                                                    (2)

Следовательно, при

W=-b2c                                                        (3)

урожайность достигает максимального значения. Отметим, что существуют многочисленные публикации (см. например, [3,4] где приведены результаты экспериментальных исследований, подтверждающие правомерность модели (1))

Следует отметить существование функционально аналогичных к модели [1] эвапотранспирационных моделей, характеризующих взаимосвязь “вода-урожай”. Например, согласно [5], имеет место следующее модельное соотношение

  ya=AC+BCETaETmα-CCETaETmβym                           (4)

где: ET_a-фактическая величина эвапотранспирации за рассматриваемый период; ET_m-максимальная величина эвапотрансрипации за рассматриваемый период; y_a-фактический урожай за тот же период;  y_m-максимальный урожай за тот же период; A,B,C,α,β-экспериментально устанавливаемые коэффициенты.

В работе [6] приведена более простой вариант модели “урожай-эвапотранспирация” в виде

ya=a+b⋅ETa+cETa2                                    (5)

где: a,b,c-экспериментально устанавливаемые регрессионные коэффициенты.

Предлагаемый метод

Как отмечается в работе [7], в общем случае функция урожайности может быть сформирована с учетом воздействия трех групп факторов:

1. Факторы фермерского хозяйства (технология, финансы, трудовложение, удобрения и др. (I);
2. Экзогенные факторы (наличие рынка, дорог, знаний) (X);
3. Природные факторы (климат, почва, вода).

Безусловно, что к природным факторам также должно быть отнесен наличие ветров при использовании метода кругового центра ирригации. В такой системе ирригации процесс испарения начинается раньше, чем фильтрация в почву. Согласно [8], эвапорационные потери из-за воздействия ветров могут быть оценены по формуле в процентах

L=3,32⋅exp0,11⋅U                                        (6)

где: U-скорость ветра; L-потери в процентах.

Рассмотрим некоторые оптимизационные соотношения для указанного типа ирригационной схемы. Водный эквивалент потерь L в первом приближении оценим как

ΔWЭКВ=k⋅L                                                (7)

где: k-коэффициент перехода от процентов испарения к количеству воды.

 C учетом (6) и (7) получим

ΔWЭКВ=3,32⋅kexp(0,11⋅U)                                   (8)

Совместный учет моделей (1) и (8) дает

y=a+b(W-ΔWЭКВ)+с(W-ΔWЭКВ)2                         (9)

где: W-вода, подводимая к системе ирригации.

С учетом (8) и (9) получим

y=a+b(W-3,32⋅kexp(0,11⋅U))+c(W-3,32⋅kexp(0,11⋅U))2   (10)

При U=const исследуем экстремум y от W (при этом в дальнейшем учитываем, что с является отрицательной величиной).

dydW=b+2cW-3,32⋅kexp(0,11⋅U)                          (11)

При  условии dy/dW=0  из (11) получаем

W=3,32⋅kexp(0,11⋅U)-b2c                                   (12)

При условии W=const вычислим значение U, при котором y достиг бы экстремума. Имеем

dydU=-3,32⋅bkexp(0,11⋅U)0,11+2c(W-3,32⋅kexp(0,11⋅U))(-0,11)                (13)

При условии dy/dU=0 из (13) получим

exp(0,11U)3,32⋅0,11⋅bk-2c⋅0,11⋅3,32=2cW            (14)

Анализ выражения (14) с учетом отрицательности с подсказывает, что y не имеет экстремума от U.

Вместе с тем, если исследовать среднеинтегральные значения у, можно показать наличие экстремальных режимов ирригации.

Введем на рассмотрение функциональную зависимость W=f(U)

С учетом (10) получим

y=a=bf(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U)+cf(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U)2                 (15)

Вычислим интеграл

yИНТ=0Umax∫a+b(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))+c(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))2dU (16)

Согласно методу Эйлера [9] вычисляемая оптимальная функция f(U)_opt должна удовлетворить следующему условию:

da+b(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))+c(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))2df(U)=0         (17)

Из (17) получаем

b+c(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))=0                         (18)

Из (18) получим

f(U)=3,32⋅kexp(0,11⋅U)-bc                               (19)

При этом, с учетом отрицательности с приходим к выводу о том, что при решении (19) целевой функционал (11) достигает максимума, т.к. вторая производная интегранта в (11) имеет отрицательное значение.

Дадим решение аналогичной оптимизационной задачи с учетом некоторого ограничительного условия, налагаемого на функцию f(U) в виде

0Umax∫f(U)dU=C1;C1=const                                (20)

Смысл условия заключается в ограниченности водных ресурсов, предназначенных для ирригационных нужд. Целевой функционал оптимизации с учетом (16) и (20) составим в виде:

 (21)

Решение задачи (21) согласно методу Эйлера должно удовлетворить условию

da+b(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))+c(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))2+λf(U)df(U)=0 (22)

Из (22) получаем:

b+cf(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U)+λ=0                    (23)

Из (23) получаем:

f(U)=-λ-bc+3,32kexp(0,11U)                              (24)

С учетом (20) и (24) получим

0Umax∫-λc-bc+3,32+kexp(0,11U)dU=C1                 (25)

Из (25) имеем

-λ=b-3,32k⋅c0,11Umaxexp0,11Um-1CC1Umax                       (26)

Следовательно,

λ=3,32k⋅c0,11Umaxexp0mCC1Umax                         (27)

С учетом (24) и (27) получим

                         (28)

С учетом отрицательности значения С можно заключить, что при решении (28) функционал (21) достигает максимума, т.к. производная (23) по f(U) оказывается равной С.

Таким образом, при наличие ограничения на обьем доступной ирригационной воды в виде (20) максимальная урожайность может быть достигнута при условии (28).

С развитием индустриальной промышленности и с усилением процессов урбанизации нехватка водных ресурсов чувствуется все сильнее. В таких условиях требуется повысить эффективность широкомасштабного водоиспользования в сельском хозяйстве, т.е. добиться максимальной урожайности при ограниченных водных ресурсах.

Как отмечается в работе [1], всевозможные потери воды являются составной частью любой ирригационной системы. По этой причине часто используется такой термин как доступное количество воды. Этот показатель удобен для менеджеров сельского хозяйства тем, что измерение этого показателя не вызывает особых трудностей.

В начальной стадии ирригации вода накапливается в корневой зоне и эффективность орошения высокая. При этом до уровня 50% доступного количества воды происходит линейный рост урожая. При дальнейшем увеличении количества воды возникают всевозможные потери воды из-за негомогенности почвы и несовершенства ирригационной системы. После достижения уровня водной потребности растительности дальнейшая подача воды может привести к уменьшению урожая из-за заболачивания местности, отсутствия воздуха в корневой зоне, уменьшения количества питательных веществ.

Согласно [2],  функциональная зависимость «урожай-доступная вода» может быть аппроксимирована выражением

                                               (1)

где: W-количество доступной воды; a,b,c-регрессионные коэффициенты, зависящие от типа растительности.

Согласно [3], точка максимальной урожайности может быть вычислена методом анализа производных. Имеем:

dydW=b+2cW                                                    (2)

Следовательно, при

W=-b2c                                                        (3)

урожайность достигает максимального значения. Отметим, что существуют многочисленные публикации (см. например, [3,4] где приведены результаты экспериментальных исследований, подтверждающие правомерность модели (1))

Следует отметить существование функционально аналогичных к модели [1] эвапотранспирационных моделей, характеризующих взаимосвязь “вода-урожай”. Например, согласно [5], имеет место следующее модельное соотношение

  ya=AC+BCETaETmα-CCETaETmβym                           (4)

где: ET_a-фактическая величина эвапотранспирации за рассматриваемый период; ET_m-максимальная величина эвапотрансрипации за рассматриваемый период; y_a-фактический урожай за тот же период;  y_m-максимальный урожай за тот же период; A,B,C,α,β-экспериментально устанавливаемые коэффициенты.

В работе [6] приведена более простой вариант модели “урожай-эвапотранспирация” в виде

ya=a+b⋅ETa+cETa2                                    (5)

где: a,b,c-экспериментально устанавливаемые регрессионные коэффициенты.

Предлагаемый метод

Как отмечается в работе [7], в общем случае функция урожайности может быть сформирована с учетом воздействия трех групп факторов:

1. Факторы фермерского хозяйства (технология, финансы, трудовложение, удобрения и др. (I);
2. Экзогенные факторы (наличие рынка, дорог, знаний) (X);
3. Природные факторы (климат, почва, вода).

Безусловно, что к природным факторам также должно быть отнесен наличие ветров при использовании метода кругового центра ирригации. В такой системе ирригации процесс испарения начинается раньше, чем фильтрация в почву. Согласно [8], эвапорационные потери из-за воздействия ветров могут быть оценены по формуле в процентах

L=3,32⋅exp0,11⋅U                                        (6)

где: U-скорость ветра; L-потери в процентах.

Рассмотрим некоторые оптимизационные соотношения для указанного типа ирригационной схемы. Водный эквивалент потерь L в первом приближении оценим как

ΔWЭКВ=k⋅L                                                (7)

где: k-коэффициент перехода от процентов испарения к количеству воды.

 C учетом (6) и (7) получим

ΔWЭКВ=3,32⋅kexp(0,11⋅U)                                   (8)

Совместный учет моделей (1) и (8) дает

y=a+b(W-ΔWЭКВ)+с(W-ΔWЭКВ)2                         (9)

где: W-вода, подводимая к системе ирригации.

С учетом (8) и (9) получим

y=a+b(W-3,32⋅kexp(0,11⋅U))+c(W-3,32⋅kexp(0,11⋅U))2   (10)

При U=const исследуем экстремум y от W (при этом в дальнейшем учитываем, что с является отрицательной величиной).

dydW=b+2cW-3,32⋅kexp(0,11⋅U)                          (11)

При  условии dy/dW=0  из (11) получаем

W=3,32⋅kexp(0,11⋅U)-b2c                                   (12)

При условии W=const вычислим значение U, при котором y достиг бы экстремума. Имеем

dydU=-3,32⋅bkexp(0,11⋅U)0,11+2c(W-3,32⋅kexp(0,11⋅U))(-0,11)                (13)

При условии dy/dU=0 из (13) получим

exp(0,11U)3,32⋅0,11⋅bk-2c⋅0,11⋅3,32=2cW            (14)

Анализ выражения (14) с учетом отрицательности с подсказывает, что y не имеет экстремума от U.

Вместе с тем, если исследовать среднеинтегральные значения у, можно показать наличие экстремальных режимов ирригации.

Введем на рассмотрение функциональную зависимость W=f(U)

С учетом (10) получим

y=a=bf(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U)+cf(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U)2                 (15)

Вычислим интеграл

yИНТ=0Umax∫a+b(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))+c(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))2dU (16)

Согласно методу Эйлера [9] вычисляемая оптимальная функция f(U)_opt должна удовлетворить следующему условию:

da+b(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))+c(f(U)-3,32⋅kexp(0,11⋅U))2df(U)=0         (17)